三角形內角和

這是我去年於另一間學校任教時，於facebook與學生討論三角形內角和的內容摘要。

 

想不到香港還有老師認為三角形內角和等於兩個直角是這樣證明的。

有同學問：為甚麼這樣不算是一個證明呢？
答曰：
１。三角形有無限個，試驗只能做有限次。
２。人能量度的長度範圍很有限。一條街的長度已不可能單用尺量，更何況要量度星系、分子間的距離？
３。量度有誤差。你怎知量出來的角度是180度，而非179.9度？
４。幾何學討論的是理想的圖形。幾何學上的線，並沒有粗度，但現實世界的線要有粗度才可能看得見。雖然我們畫了線與圖形，但我們實際討論的是他們所代表的理念體。存在於現實世界中的直尺與量角器不能量度理念中的物體。只有由公理所產生的推論才有效。

最經典的證明來自幾何原本。

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI32.html
不過這個命題又要用到之前的結果，層層遞歸，最終會回到公設與公理之上。

實際上，在不同的公設下，三角形的內角和不一定等於兩個直角。
http://static.ddmcdn.com/gif/space-shape-4.jpg

由教育局製作的教育電視也很強調公理系統的證明不能靠直觀或歸納法所取代。
http://resources.hkedcity.net/resource_detail.php?rid=1159821133
上片8:00左右也有三角形內角和等於兩直角的證明。

同樣的問題在外國教科書也有出現，但卻是作為反面教材。

很快，外國的學生會比我們的老師更有知識。
見到數學老師，不妨問一問他如何證明三角形內角和等於兩個直角。答案一定很精彩。