面書論數

以下是我在Facebook與學生討論數學的內容摘錄。

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N年前在荃官代課時，給學生出的一題心理測驗：

有一枚硬幣，擲了十次，十次都是正面。再擲一次，得正面的概率是：

A. 1

B. 1/2

C. 0

D. 且慢！那個硬幣是不是公平的？




心理分析：

A: 經驗主義者。主張透過感官見聞來了解世界，重視實質證據。由於過往十次結果皆為正面，取實驗概率＝相對頻數＝10/10 = 1。

B. 理性主義者。在一些不證自明的簡單道理上，加以推理而得出結論。否定感官經驗。由於擲硬幣時得正面和反面的概率相等、每一次擲硬幣的結果和以往經果無關，因此P(正面)=1/2。

C. 賭徒。一枚公平硬幣投擲很多次，得出正面的概率會很接近1/2。因此有些人會產生錯覺，認為十次正面之後，下一次的結果會令得到正面概率較接近1/2，因此較可能是反面。（賭仔：連開十舖大，今次仲唔開細？）心理學上稱為賭徒謬誤(gambler's fallacy)。

D. 香港學生。 看題目做人。如果題目說硬幣是公平的，就用B；題目沒有說硬幣是公平的，就用A。

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一個經常在想的問題：三角學和幾何學有甚麼分別？我們利用已知比來定義sin t，又用sin t建立未知比的關係。為甚麼不直接說已知比等於未知比呢？舉例而言，海島算經第一題是這樣的：「今有望海島，立兩表，齊高三丈，前後相去千步，令後表與前表參相直。從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峯，與表末參合。從後表卻行一百二十七步，人目著地取望島峯，亦與表末參合。問島高及去表各幾何？」這問題可以用中三的三角比來解決。但即使不懂三角比，也可以利用相似三角形來解決。古人解答此題，也是用長度之比來解決的，完全不需要sine, cosine, tangent。 那麼，三角學的意義何在？

閱讀了一些書（A mathematical gift II, Kenji Ueno等著。可在公共圖書館借到。)後，終於有些頭緒。

在幾何學中，我們取一任意直線的長度為1單位。怎樣比較兩線段的長呢？墨子說：同長，以正相盡也（《經上》）。要是兩段直線放在一起能夠完全重疊，我們就說這兩段線一樣長。於是，對於任意的直線長度，均可以該單位的倍數表示。要表示曲線的長度就麻煩了。我們不能將一條曲線和直線完全重疊，因此不能直接比較一段曲線與一段直線的長度。亦因此，我們在在直線上建立的幾何學（例如計算面積），不能用在曲線的世界中。

曲線就好像一個燙手山芋──直接拿起就會灼傷，放手的話又會掉到地上。怎麼辦好呢？用個麵包夾夾起來吧。麵包夾讓我們能間接拿起燙熱的食物，又不會灼傷手。

先收窄討論範圍。曲線有很多種，當中最重要的要算是圓形。要是我們只懂得表示直線的長度，可以如何將弧線（圓周上的一段）的長度告訴別人呢？

繼續說之前，我先要指出：角度和弧長可以互相代替。比方說有一塊半徑為1的薄餅，我切了一塊45度的出來。它所對應的弧（薄餅的邊）長就是pi/4；要是角度加倍成90度，弧長也會加倍成pi/2。角度與弧長成正比，知道角度，便知道弧長，反之亦然。較深的數學書索性用弧長表示角度（稱為弧度。例如：「角AOB = 45度」寫成「角AOB = pi/4」），在數學上反而更方便。計算機畫面上有個小D字，代表使用度為角的單位。我們可以設定以弧度表示角的大小。這時畫面上的顯示R。

我們可以將弧的兩端連起成弦（D字形），然後告訴別人弦的長度。對方便可以將這段弦線放到圓形上，求得對應的弧長了。基於對稱性，我們只需要考慮這個圖形的半截（D字的上半截，應該叫……杜拜塔！？）就可以了。由半弦求半弧，名曰arcsine（故名）；由半弧求半弦，名曰sine。

直線和直線可以互相比較，圓弧和圓弧也可以互相比較，但直線和圓弧就不能直接比較。Sine, cosine, tangent的作用，是將直線和圓弧對應起來，使我們可以利用直線表示曲線。有分教：寧在直中取，不向曲中求。要是我們的手是直線幾何，圓弧等曲線是個燙手山芋，那麼三角函數就是那個麵包夾，使我們不用受熱，也能間接拿起食物。因此，有些人主張把這幾個函數正名為圓函數circular function。不過我們還是叫它們作三角函數trigonometric function。這好比馬路改成行車，還是叫馬路。叫慣就不改了。

那其他曲線又如何呢？計算機上有個hyp鍵，代表雙曲函數(hyperbolic function)。按[hyp][sin]代表sinh(hyperbolic sine)這個函數（中學大概不會用到）。它的作用，是把一段直線的長度和一段雙曲線的的長度加以對應。聽說還有根據其他曲線定義的函數，不過很少用到便是了。

記住：三角學不是講三角的。

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中三教完了概率，我說了一個例子。

比方說有一群動物，雌雄各有兩種繁殖策略。雄性可以是忠誠（交配後協助養育子女）或是風流（交配後不顧而去）；雌性可以是保守（要求雄性進行一連串求偶行為才交配）或開放（沒有求偶行為也交配）。於是，雌雄相遇，就會有四種可能情況，而每種情況都對產生該種行為的基因的散播產生影響。比方說，開放女遇上風流男，男方風流過後便逃之夭夭，另覓新歡。於是他就會有較多後代，使得下一代的風流男增加。然而開放女做了單親媽媽，減底了繁殖能力，就會有較少後代，於是下一代開放女比例減少。這時忠誠男就會受到逐漸增加的保守女垂青，使下一代忠誠男比例增加。男方變得忠誠了，開放女會因省下不少求偶時間而得到繁殖力提升，於是下一代開放女比例又會增加......那麼何時才變得穩定呢？

要是我們以一個分數代表該種動物散播基因的能力，那麼我們就可以利用概率與期望值的方式計算出，在一段時間後，該族群的基因比例。這些比例稱為進化穩定策略(Evolutionary Stable Strategy, ESS)。我上課講解了有關的數學內容。以中三的概率知識，便足夠應付了。

以上理論由John Maynard Smith提出，Richard Dawkins舉例說明。可參考http://books.google.com.hk/books?id=0ICKantUfvoC&lpg=PA140&ots=yVaMnFI3TS&dq=selfish+gene+battle+of+the+sexes&hl=zh-CN&pg=PA140#v=onepage&q&f=false（很大堆英文。要中文版的話，到圖書館找找吧。）

當然，一個族群的動物不可能簡單分為保守或開放、忠誠與風流。不過其行為傾向卻可以透過概率來理解。比方說，要是計算出種動物保守的雌性佔較大比例，可以理解為該種雌性會要求雄性作很多繁複的求偶行為。

這些概率又和動物哺育行為息息相關。鳥類需要花長時間孵蛋和喂哺鶵鳥（詳細情形見白居易的《燕詩》。中一背過的。其實這首詩所描述的情況，也可以考慮其基因散播，用概率加以分析。哎呀，中文老師，不要打我。）因此，雌性會要求雄性進行很多求偶的活動，使他們另覓新歡的代價變大。於是，許多雄鳥，都是色彩鮮艷，能歌善舞的。雌性就不需要了。到youtube搜尋"birds mating dance"，會找到許多有趣的鳥類求偶舞片段。有興趣的話，還可以觀看BBC動物紀錄片"Life"。有一集專講鳥類。

相對而言，海龜在沙灘上挖個洞，生完蛋就走了，沒有必要進行求偶行為。亦因此，我們從來不會見到海龜懂得唱歌跳舞的。（想起來也很有趣。）看似風馬牛不相及之事，箇中自有數學玄機。

拜託，不要問我考試考不考。這是一種人類文明的行為，叫做求學。要是老師本身失去了求知的熱誠，便不要指望能培養學生的學習興趣了。

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有些運動很直接。例如是舉重：你手拿著的就是你要舉起的傢伙。
有些運動比較間接。例如劍擊：你不能直接打你的對手，要用劍刺。
有些運動再間接些。例如網球：你拿著球拍，球拍打球，球再飛出去。
再間接些的，例如桌球：你拿Q棍，Q棍撞白球，白球撞紅球，紅球再入洞。
我記得小時候打康樂棋，枱角的棋，不能用白棋來打，要撞另一顆棋將它撞出來，再用白棋打。（年代久遠，不太肯定。）即：手拿Q棍，Q棍撞白棋，白棋撞一顆棋，那顆棋再撞角落的棋。
不難發現，每間接多一層，控制力度就輕一層。其差異就有如舉重槓鈴和康樂棋重量。
以往在一些互信較差的學校，學生做任何練習，都一定要交給老師檢查。老師沒有看到的話，就表示學生沒有做。於是老師花了很多時間去檢查，做其他事的時間相對就少了。（聞說有些哲學家認為，當一張椅子沒有被人看到，它並不存在。無人森林中的大樹倒下，沒有聲音。）
我們交的功課，就正是一種很間接的練習方式。學生做了給老師檢查，老師又要給科主任查簿，科主任再給校長，不知還有沒有其他人來看。單純依賴這種方式作為練習，就好比用康樂棋的打法要舉起一個上百公斤重的槓鈴，難以得到成功。交功課有其重要意義。讓人看到我們的工作成果，對方才會放心投放資源和信任。只是我們不能依賴。以往在一些學校，學生欠缺學習動機，「解決」方法就是：無視學習動機，給予更多功課，不交者處以酷刑。成效呢。。。唔。。。
安排下學期功課時，我也考慮到這一點。我想，功課的份量能滿足校方要求就好了。（當然啦，要是不交，請想像Homer Simpson掐著Bart脖子的情形。。。）實質上對學習較有益的，是學生自發做的一大堆連答案的練習。（快將推出）而最重要的，是做完練習後的思考組織。在這三者當中，愈是看不見的，愈是重要。
學習好像採摘野山人蔘一樣。可見部份的重要性，在於它指出了不可見部份的存在。我們真正想要的，是不能直接看見的根部。

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數學老師要看懂數學題中的立體圖，當然是輕而易舉。然而，想了解學生為甚麼看不懂，就要忘記自己對圖像作出的各種詮釋，回到只看到白紙加幾條線的狀態。（這個比較高難度。）

在日常生活中，要產生立體視覺，人類會利用多種心理提示。例如：較近的物件會顯得較大、較清晰、一般在下方，遮蓋其他物件。反之則為較遠。然後看看我們數學題的「立體圖」。天哪，白底黑線，除了點ABCD之外，甚麼都看不出來，要看文字說明，然後自已想像。火柴人也比它更立體。難怪有很多人都看不懂。不過數學圖必需如此：它甚麼都沒有，因此可以代表任何物體。

基於這個想法，做數學題時不妨將長方體想像成屋、盒之類的實物。而對於非長方體（例如帳蓬、紙飛機），就可以想像他被鑲鉗在一個長方體內。例如，想像一架紙飛機被放在一個長方體內，雙翼內接於長方體頂部，機尾剛碰到底部。想找機身和長度或角度，便可借助長方體完成。不論在工程或美術上，想畫一件非長方體的立體物品，都是先畫一個長方體（或與該形狀相近的立體幾何圖形）的框架，然後以該框架定位，將其他部份畫上去。

還有的是，當發呆時（上課除外），不妨在紙上畫畫立體圖形，蠻有趣的，又可訓練一下自已的立體感覺。這總比替杜甫畫上身體做些奇怪動作好多了。

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話說笛卡兒的事蹟和夢很有闗係。他對哲學的追尋可以說是受到夢境的啟發：

「第一個夢是，笛卡爾被風暴吹到一個風力吹不到的地方；第二個夢是他得到了打開自然寶庫的鑰匙；第三個夢是他開闢了通向真正知識的道路。」

後來他在火爐前打瞌睡，想：「我怎樣能夠肯定我所見到、聽到、觸摸到的一切事物，不是由魔鬼所製造出來的幻覺？」於是他想到了「我思故我在」（即使一切都是幻覺，我必存在，才可以感受到），並發展出理性主義以及心物二元論等哲學思想。

傳說他躺在床上，看著天花一角的蜘蛛，領悟出坐標系統，將幾何和代數結合。後來他寫給瑞典公主的情信上只有一方程：r=a(1-sinθ)，在極座標上畫出來就是一個心形圖案。見過一些網上趣圖，以方程畫個心出來，這些無聊事，人家發明座標系統後，一早就想到了。[補充：此事沒有史實根據。不過故事作者也蠻有創意的。]

他平日習慣睡到下午才起床。後來做了瑞典女皇的老師。女皇喜歡清晨上課。不久笛卡兒就掛掉了。

就讓我們趁這個假期，紀念笛卡兒，身體力行繼承他的偉大事業。ZZZ...

（還有：總覺得V煞好像笛卡兒？）

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小明成績很好，小強成績很差。小強向小明請教取得佳績的方法。小明說：我十分貪心，有利的事就做，無好處的就不做。小強聽了後，學習時處處以分數為目標，計分的就做，不計分就不做，考的就讀，不考的就不讀。每次測驗後都不斷追問評分方法，為了一兩分也會跟老師辯得面紅耳赤。到派成績表的時候，他發覺自己的成績沒有多少進步，便找小明問：我已聽了你的話，計分才做，要考才讀，為甚麼成績卻沒有進步呢？小明說：你會錯意了。我讀書時，除了明白課題基本意義外，遇上不明白的地方，必定尋根究柢，務求理解全課意義；遇上有興趣的項目，會主動搜尋有關資料，滿足自己，也充實知識。小強覺得被騙，向老師訴苦。老師說：你怎能說他騙你呢？他認真的學習態度，一則可以豐富自己的知識，提升個人修養；二則可以輔助其他科目，並為將來的學習打好基礎；三則可以透徹了解試題內容，無懼各種變化。一心想着分數，會擾亂人的思緒，削弱求學意志，最多只能讓你多得一兩分，對整體學業卻沒有多大幫助，實在是得不償失！他的做法能帶來這樣大的好處，難道不是真正貪心的人最應該做的事嗎？

（仿《列子•天瑞》“齊之國氏大富”）

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很多人覺得一些數學課題「識就識，唔識就唔識」，沒有甚麼好教的，做足二十年past paper便成了。不過我想，那些「識做」的人，腦裏面總要對資訊作出一些處理，才能產生解答。當中可能有一些要素，是「唔識做」的人所缺乏的。這些要素不一定很明顯，但卻很重要。要是能夠將這些思維要素從思路中提煉出來，那將對學生大有幫助。

立體幾何應屬於「識就識，唔識就唔識」一類。為甚麼理解立體圖形比理解平面圖形困難那麼多呢？因為人的眼睛的視網膜是個平面，只能接收平面的影像。我們平時感知的立體世界，其實是平面視覺加上一些其他的提示所組成，例如兩隻眼睛向鼻尖旋轉了多少，手要伸直還是彎曲才拿到這件物件等等。3D電影也是透過讓左右眼接收不同影像，產生立體的錯覺。電影畫面也好，畫在紙上的圖形也好，可以有立體感，卻不是真正立體。有關立體視覺可觀看：

http://education-portal.com/academy/lesson/depth-perception.html

http://www.eruptingmind.com/depth-perception-cues-other-forms-of-perception/

我的貓打算從桌面跳上櫃頂，沒有成功的把握，便會望著目的地，頭上下移動，打量一番，判斷好高度才起跳。原來眼睛位置改變的時候，所見到的影像也會移動：較遠的東西移動的幅度較小，近的較大。這個現象在物理學上稱為視差(parallax)。根據物件影像移動的幅度，解聯立三角方程，或使用正弦公式(sine formula)，就能計算到目標的距離了。噢，我的貓真聰明。

這一段TED的演講，介紹了印度一個機構，專門幫助貧窮的失明人士重見光明。

http://v.163.com/movie/2011/7/B/J/M7B9LO43L_M7BA2HJBJ.html

當中有一部分講述了從小失明、長大後才恢復視力的人，會對辨別基本圖案產生困難。比方說，一個正方形和一個圓形部分重疊，他會看到三個圖形：缺了一角的正方形，缺了一角的圓形，以及兩個圖形重疊的部分。要是把其中一個圖形動起來，他就能認得是兩個圖形了。

「動」是關鍵所在。所謂動，就是物件的位置隨時間而改變。三維的物體擠不進二維的視網膜，加上時間這一維，就好多了。所以我建議學生可以接觸一些表達立體幾何圖形的畫面，比如是立體的解迷遊戲之類。先接觸動的立體感平面圖形，再接觸不動的，就容易理解得多。我找到了兩個孔明鎖apps，放假不妨玩玩。

https://play.google.com/store/search?q=孔明鎖&c=apps

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數學書上寫着：對於任意多面體(polyhedron)，端數－棱數＋面數=2，記作V-E+F=2，稱為歐拉公式(Euler’s Formula)。（歐拉公式一般指e^t=cos t + i sin t。這只是命名上的重覆，小事。）然而V-E+F=2只在凸多面體成立，而非任何多面體。凸(convex)，即在圖形中任意取兩點，連起的直線完全在該圖形之中。教師用書的附註中也舉出了反例。課本卻由始至終都只是指出了V-E+F=2。數學普遍的做法是：詳細列出定理的所有必要條件，經嚴謹緊明後，得出了無一例外的結果。書中的做法，省略了一些條件，得出的結果也只是「多數」（以學生會接觸的圖形來說）成立。

V-E+F=2的意義何在？讓我們數了V和E之後就省去數F的工夫嗎？不然。我後來才了解到，V-E+F的意義，在於它是個拓撲不變量(topological invariant)。即是說：在物體的長度和角度改變下，這個量也是不變的。例如：我將一個正立方體拉長成為一個長方體，再把他推歪成成一個平行六面體(parallelepiped)，扭正後再將它其中兩個則面合併變成一個三角柱體。這個過程中，各邊長，面積，體積，角度不斷改變，但V-E+F卻保持不變。了解了此一道理，我們就可以將這個觀念應用於任何圖形（平面，彎曲均可）之上，並且將V-E+F相同的圖形歸為同一類，看看它們有甚麼相同。「將不同長度和角度的圖形視為相同」便是拓撲學(topology)的基本想法。不妨看看Wikipedia中的資料。文字頗長，看圖好了。

http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_characteristic

拓撲學是一們很有趣，很能啟發思維，亦很具數學價值的學問。V-E+F=2則可謂通往拓撲學的門戶。從考評角度看，只考公式當然比考深層意義來得方便。但從學問角度來說，學了公式卻不繼續深究，就好像打開了寶庫之門，卻只是看兩眼就走了。這實在十分可惜。

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　　幾年前在荃官代課時那一班中三，以及今年教的兩班中三，都不約而同地問同一個問題：definition（定義）和property（性質）有甚麼分別？在書上的例題，平行四邊形對邊平行的原因是：definition of //gram，平行四邊形對邊長度相等的原因則是：property of //gram。為甚麼有這個分別呢？

　　答曰：平行四邊形的定義為：兩對對邊平行的四邊形。換言之，我們是覺得「兩對對邊平行的四邊形」太長了，給他一個代號，叫做平行四邊形。（不喜歡的話，你叫他小明也可以。這絲毫不影響其數學含義。）平行四邊形對邊平行，是因為平行四邊形的意義中，已包含了對邊平行這項性質。要是它的對邊不平行，我們根本不會叫它做平行邊形。

　　至於平行四邊形的性質，泛指在平行四邊形中必然正確的事，例如對邊相等和對角相等。按這個說法，對邊平行也是平行四邊形的特性之一。不過書上所指的特性，主要針對透過證明所得的結果。例如：我告訴你一個圖形為平行四邊形，你便知道它有四邊且兩對對邊平行。至於對邊是否相等呢？看起來好像是，但要經過證明才能肯定。（這個證明應該寫了在課本中一個你不會看的位置。）於是我們便知道平行四邊形對邊邊長相等。我們肯定它是真的，是因為我們做過證明。

　　荃官學生這個問題問得很好。教過其他學校的學生，他們根本不察覺到有問題。

　　本來，定義、公設、定理等演繹幾何的內容，已包含在中一二的課程中。不過因為這些內容難以制作大量運算題目以供操練和考試之用，所以老師隨便說一次便算了。甚至跳過該部份，亦不會對學生考試得分構成任何障礙。教不教，怎樣教，取決於老師本身對數學的認識。去年我花了不少時間心機將演繹幾何的精神理念教予中一學生，最後卻因個別人士沒有學過而受到批評。看來該校要改善教學質素，還得先提升一下教師學歷才成。

　　中國傳統科學追不上西方，其中一個致命弱點就是欠缺邏輯推理。而這個弱點，又因教育上只求結果，不問來由的做法而代代相傳。於是，學生不但對於西方文化的重要構成因素得不到認識，亦不能從幾何學中得到理性思維的訓練。演繹幾何老祖宗歐幾里得說：幾何學上沒有王者的捷徑。然而我們的教學方法，連走捷徑也嫌慢，幾乎是空降式的。知道現在身處何方已經很好，別說要知道來回道路。這種教法完全違反了演繹幾何的理念。

　　明代學者徐光啟評論幾何原本：此書有五不可學：燥心人不可學，麤（粗）心人不可學，滿心人不可學，妬心人不可學，傲心人不可學。故學此者，不止增才，亦德基也。這些品德，正是現代社會所欠缺的。

　　蕭文強教授為幾何原本來華四百年寫了一篇文章，內容豐富易明，很值得一看：http://hkumath.hku.hk/~mks/MrAuFigure.pdf

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法國少年數學家伽羅瓦在與情敵決鬥前夜，通宵在做數學。結果：他在決鬥中掛掉了。這個故事教訓我們：1.五次方程不一定有解；2. 早睡早起精神好。

同學們，早點睡吧！

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變分(variation)一課到底意義何在？高中數學的所謂變分題目，無非要求學生將變分化作方程，然後解方程，根本沒有需要用到變分。與其跟人說y∝x，何不直接說y=kx呢？我有兩項相關的想法。
1．變分的表達方式並不依賴單位與常數的值。例如我說：液體的容量V L與其質量M kg成正比。對於水，我們有M = 1 V。換了另一種液體，或是換了另一套單位，變分常數就不同了，但兩個變量的關係卻沒有改變。對於科學研究來說，兩個變量的關係才是真正科學理論正誤的關鍵。變分常數的量值，是在確立關係之後才有意義的。因此物理學的課本中，物理定律(如law of refraction)都是先以變分 (如sin t1 ∝ sin t2) 表示其量值之間的關係，之後才推出公式(如n1 sin t1 = n2 sin t2) 以作計算。
2．變分有助「挖掘」出常量。當我們說y=kx時，k是一個常量(constant)。這個常量有多「常」呢？它不會隨同一公式內的其他量(x和y)而改變，但卻可以隨公式外的其他量而變。以物理科熱學一課為例，我們說，加熱物體時，熱與溫差成正比，即Q∝ΔT。寫成公式使是Q=CΔT，C為常數(heat capacity熱容量)。這個常數也不是太「常」。要是我們說：水的容量是某某，這句說話不正確，也不錯誤，因為它根本無意義。物體的熱容量，取決於它材料，同時與其質量成正比。（要加熱雙倍的物體，自然要雙倍的熱。）於是我們說C∝m。寫成公式，就是C=cm，c為常數(specific heat capacity比熱容量)。注意：在Q=CΔT中，C是常量，但在C=cm中，C是個變量！常與不常，要視乎同一公式中有甚麼其他變量了。c比C更「常」，那麼c夠「常」了嗎？c的值只取決於材料，大概也夠「常」了吧。
要是我們的變分常數已經「常無可常」，我們說這是一個普適常數(universal constant)。例如：物理學中的理想氣體公式PV=nRT，R為普適氣體常數(universal gas constant)，全宇宙適用。這條公式，正是由Boyle’s Law, Charles’ Law, Guy-Lussac’s Law（pressure law）開始逐步深入，過程中的常數也愈來愈「常」。
中學數學題，一般先給予情況求變分常數，然後再用該常數求一變量的值。於是我們總是覺得，那個變分常數，好像是用完即棄一般，不太重要。其實不然。一個重要的例子是，在圓形當中，圓周＝常數x直徑。這個常數，當然比任一圓的圓周或直徑重要得多了。

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知識比功課重要。思考比答案重要。學問比分數重要。品格比紀律重要。身體比校服重要。健康比儀容重要。動機比服從重要。情緒比態度重要。睡眠比趕工重要。成長比升班重要。人生比學期重要。
我的成長並不健康快樂，也沒有得到些甚麼聰明智慧。我只希望能夠做點甚麼事，讓我的學生不要過這樣的生活。

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我一直以為，要學生重覆地做一大堆相同模式的練習，只會使他們變得像機器一般，一點智慧也沒有。隨著專業知識和教學經驗的累積，我現在覺得以往的想法實在大錯特錯－－現代的機器哪有這麼笨的。